My Fortress of Solitude

”. . . I could be bounded in a blog and count myself a tyrant of infinite web space . . .”

Quantum Dynamical Principle

with one comment


หลักพลวัตรเชิงควอนตัมของชวิงเงอร์
(Schwinger’s Quantum Dynamical Principle)
:

\displaystyle{\delta\!\left\langle {a,t_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,t_{\mathrm{i}}} \right\rangle =-\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\left\langle{a,t_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{\delta\!\left[\int_{t_{\mathrm{i}}}^{t_{\mathrm{f}}}\!\!\mathrm{d}t\;H\right]}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,t_{\mathrm{i}}}\right\rangle}

หรือ

\displaystyle{\delta\!\left\langle {a,t_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,t_{\mathrm{i}}} \right\rangle =-\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_{\mathrm{i}}}^{t_{\mathrm{f}}}\!\!\mathrm{d}t\left\langle{a,t_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{\delta{}H}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,t_{\mathrm{i}}}\right\rangle}

เมื่อฮามิลโทเนียน H=H\big(q(t),p(t),t;\lambda\big) ในที่นี้สถานะควอนตัม \left|b,t_{\mathrm{i}}\right\rangle ที่เวลา t_{\mathrm{i}} และสถานะควอนตัม \left|a,t_{\mathrm{f}}\right\rangle ที่เวลา t_{\mathrm{f}} ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ \lambda และการแปรผัน \delta จะกระทำเทียบกับพารามิเตอร์ \lambda โดยที่จะตรึง q(t), p(t), a และ b ไว้ไม่ให้เปลี่ยน

สำหรับฮามิลโทเนียนในรูป

H=H\big(q(t),p(t),t;F(t),S(t)\big)=H(q,p,t)-qF(t)+pS(t)

จะได้ว่า

\displaystyle{-\mathrm{i}\hbar\frac{\delta}{\delta{}F(t)}\left\langle {a,t_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,t_{\mathrm{i}}} \right\rangle =\left\langle{a,t_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{q(t)}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,t_{\mathrm{i}}}\right\rangle}

และ

\displaystyle{\mathrm{i}\hbar\frac{\delta}{\delta{}S(t)}\left\langle {a,t_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,t_{\mathrm{i}}} \right\rangle =\left\langle{a,t_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{p(t)}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,t_{\mathrm{i}}}\right\rangle}

ในวิชาพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัมอาจเขียนหลักพลวัตรเชิงควอนตัมของชวิงเงอร์ในรูป

\displaystyle{\delta\!\left\langle {a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}} \right\rangle =-\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\left\langle{a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{\delta\!\left[\int_{\sigma_{\mathrm{i}}}^{\sigma_{\mathrm{f}}}\!\!\mathrm{d}^{4}x\;\mathscr{H}\right]}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}}\right\rangle}

หรือ

\displaystyle{\delta\!\left\langle {a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}} \right\rangle =-\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{\sigma_{\mathrm{i}}}^{\sigma_{\mathrm{f}}}\!\!\mathrm{d}^{4}x\left\langle{a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{\delta\mathscr{H}}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}}\right\rangle}

ในบางกรณีที่ \delta\mathscr{H}\to-\delta\mathscr{L} จะได้ “หลักกิริยาเชิงควอนตัมของชวิงเงอร์” (Schwinger’s Quantum Action Principle):

\displaystyle{\delta\!\left\langle {a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}} \right\rangle =\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\left\langle{a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{\delta\!\left[\int_{\sigma_{\mathrm{i}}}^{\sigma_{\mathrm{f}}}\!\!\mathrm{d}^{4}x\;\mathscr{L}\right]}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}}\right\rangle}

หรือ

\displaystyle{\delta\!\left\langle {a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}} \right\rangle =\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{\sigma_{\mathrm{i}}}^{\sigma_{\mathrm{f}}}\!\!\mathrm{d}^{4}x\left\langle{a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{\delta\mathscr{L}}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}}\right\rangle}

หรือ

\displaystyle{\delta\!\left\langle {a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left| {\vphantom {a b}}\right. \kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}} \right\rangle =\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\left\langle{a,\sigma_{\mathrm{f}}}\!\mathrel{\left|\vphantom{{a}}{\delta\mathcal{W}}\vphantom{{b}}\right|\kern-\nulldelimiterspace}\!{b,\sigma_{\mathrm{i}}}\right\rangle}


🙂 อ่านรายละเอียดเพิ่มเติมได้จากงานของปรมาจารย์โดยตรง…

  1. Julian Schwinger, “On the Green’s Functions of Quantized Fields. I”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 37 (7), 452–455 (1951).
  2. Julian Schwinger, “On the Green’s Functions of Quantized Fields. II”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 37 (7), 455–459 (1951).
  3. Julian Schwinger, “The Theory of Quantized Fields. I”, Physical Review 82 (6), 914–927 (1951). [doi:10.1103/PhysRev.82.914]
  4. Julian Schwinger, “The Theory of Quantized Fields. II”, Physical Review 91 (3), 713–728 (1953). [doi:10.1103/PhysRev.91.713]
  5. Julian Schwinger, “The Theory of Quantized Fields. III”, Physical Review 91 (3), 728–740 (1953). [doi:10.1103/PhysRev.91.728]
  6. Julian Schwinger, “The Theory of Quantized Fields. IV”, Physical Review 92 (5), 1283–1299 (1953). [doi:10.1103/PhysRev.92.1283]
  7. Julian Schwinger, “The Theory of Quantized Fields. V”, Physical Review 93 (3), 615–628 (1954). [doi:10.1103/PhysRev.93.615]
  8. Julian Schwinger, “The Theory of Quantized Fields. VI”, Physical Review 94 (5), 1362–1384 (1954). [doi:10.1103/PhysRev.94.1362]

😉 หรืออ่านจาก…

  1. Bryce Seligman DeWitt, “Dynamical Theory in Curved Spaces. I. A Review of the Classical and Quantum Action Principles”, Reviews of Modern Physics 29 (3), 377–397 (1957). [doi:10.1103/RevModPhys.29.377]
  2. Silvan Sam Schweber, “The Sources of Schwinger’s Green’s Functions”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 102 (22), 7783–7788 (2005).
    [doi:10.1073/pnas.0405167101]

😉 มีบทความที่ใช้ Quantum Action Principle ใน Gauge Theories ที่น่าสนใจ เช่น…

  1. Edouard (Edward) Berge Manoukian, “Action Principle and Quantization of Gauge Fields”, Physical Review D 34 (12), 3739–3749 (1986). [doi:10.1103/PhysRevD.34.3739]
  2. Edouard Berge Manoukian and Suppiya Siranan, “Action Principle and Algebraic Approach to Gauge Transformations in Gauge Theories”, International Journal of Theoretical Physics 44 (1), 53–62 (2005). [doi:10.1007/s10773-005-1436-z] or arXiv:0706.1631 [hep-th].
  3. Kanchana Limboonsong and Edouard Berge Manoukian, “Action Principle and Modification of the Faddeev–Popov Factor in Gauge Theories”, International Journal of Theoretical Physics 45 (10), 1814–1824 (2006). [doi:10.1007/s10773-006-9152-x]

😉 มีบทความที่ใช้ Quantum Action Principle อื่นๆ ที่น่าสนใจ เช่น…

  1. H. A. Cohen and Mohamad Zain Shaharir, “The Action Principle in Quantum Mechanics”, International Journal of Theoretical Physics 11 (5), 289–303 (1974). [doi:10.1007/BF01808084]
  2. Mohamad Zain Shaharir, “The Modified Hamilton-Schwinger Action Principle”, Journal of Physics A 7 (5), 553–562 (1974). [doi:10.1088/0301-0015/7/5/005]
  3. Luis Fernando Urrutia and Eduardo Hernández, “Calculation of the Propagator for a Time-Dependent Damped, Forced Harmonic Oscillator Using the Schwinger Action Principle”, International Journal of Theoretical Physics 23 (12), 1105–1127 (1984). [doi:10.1007/BF02213423]
  4. Luis Fernando Urrutia and C. Manterola, “Propagator for the Anisotropic Three-Dimensional Charged Harmonic Oscillator in A Constant Magnetic Field Using the Schwinger Action Principle”, International Journal of Theoretical Physics 25 (1), 75–88 (1986). [doi:10.1007/BF00669715]
  5. Ashok Kumar Das and Wolfgang Martin Scherer, “Equivalence of Dirac Quantization and Schwinger’s Action Principle Quantization”, Zeitschrift für Physik C 35 (4), 527–532 (1987). [doi:10.1007/BF01596905]
  6. Bozhidar Zakhariev Iliev, “On the Action Principle in Quantum Field Theory”, arXiv:hep-th/0204003.
  7. David J. Toms, “The Schwinger Action Principle and the Feynman Path Integral for Quantum Mechanics in Curved Space”, arXiv:hep-th/0411233.
  8. Mouna Boudjema-Bouloudenine, Tahar Boudjedaa and Abdenacer Makhlouf, “Schwinger Action Principle via Linear Quantum Canonical Transformations”, European Physical Journal C 46 (3), 807–816 (2006). [doi:10.1140/epjc/s2006-02515-9]
  9. Adriano Aragao, Henrique Boschi-Filho, Carlos Farina and Fabrício Augusto Barone Rangel, “Non-Relativistic Propagators via Schwinger’s Method”, arXiv:0704.1645 [quant-ph].
  10. จะมาเพิ่มต่อเรื่อยๆ ครับ… 😀

Advertisements

Written by suppiya

สิงหาคม 9, 2007 ที่ 8:15 pm

มีการตอบกลับหนึ่งครั้ง

Subscribe to comments with RSS.

  1. 🙂 อ่านการพิสูจน์ Schwinger’s Quantum Dynamical Principle และการประยุกต์ใช้งาน (อย่างทรงพลัง) ได้จากบทที่ 11 ในหนังสือ…

    ๏ Edouard Berge Manoukian, “Quantum Theory: A Wide Spectrum”, Springer, Dordrecht (2006). [ISBN:1-402-04189-6]
    http://www.springer.com/978-1-4020-4189-1

    …แต่งโดยอาจารย์ที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ของข้าพเจ้าเอง สำหรับผู้ชอบความท้าทายของทฤษฎีควอนตัม ไม่ควรพลาดเป็นอย่างยิ่ง แล้วจะรู้ว่ากลศาสตร์ควอนตัม (Quantum Mechanics) มีอะไรมากกว่าที่คิด รวมถึงการปูพื้นฐานไปสู่ทฤษฎีสนามควอนตัม (Quantum Field Theory) ด้วย [ไม่ใช่เพียงแค่แก้สมการชเรอดิงเงอร์หาฟังก์ชันคลื่นกับพลังงานเท่านั้น] 😉

    suppiya

    สิงหาคม 12, 2007 at 5:24 pm


ใส่ความเห็น

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: